SISTEMAS DE ECUACIONES.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. SOLUCIONES. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

CONSIDERACIONES PREVIAS:

 Ejercicio: Sea la ecuación  x + 5 = 3x - 3

RESOLUCIÓN:

 – 2 x = - 8   ®    x = 4

¿Qué nos quiere decir esto?

Sencillamente que la igualdad se verificará cuando la "x" tome el valor 4.

 Ejercicio: Pero si tuviésemos la ecuación     x + y = 5

¿Cuál sería la solución?

Pocos son los alumnos que, en estos momentos del currículo, saben que tiene infinitas soluciones, pues simplemente hay que buscar 2 números que sumados den 5:

para x = – 1   ®   y = 6

para x = 0    ®   y = 5

para x = 1    ®     y = 4

para x = 2    ®   y = 3

para x = 3    ®    y = 2

etc.

Dependiendo del valor que se le dé a una incógnita la otra tendrá otro valor igual o diferente.

Si representamos estas soluciones en unos ejes de coordenadas comprobaríamos que:

x + y - 5 = 0

¡LAS SOLUCIONES ESTÁN SOBRE UNA RECTA!

Podríamos señalar la ecuación de una recta como:

y = a x + b

 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS. DISCUSIÓN E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

Concepto: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.

Si tenemos dos ecuaciones:

Se puede comprobar que para   x = 4   coinciden los valores.

Resolver un sistema de ecuaciones es buscar la solución que es común a todas esas ecuaciones, es decir, la solución debe verificarse simultáneamente en todas las ecuaciones que componen el sistema.

En este caso, con la metodología utilizada, podemos comprobar que para x = 4 coinciden los valores. Este método lo denominamos de TANTEO.

El sistema se representa de la siguiente forma, encerrando ambas ecuaciones con una llave por la izquierda

aunque también es habitual, y se puede considerar correcto, si los encerramos por la derecha:

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE 2 ECUACIONES.

El método anteriormente expuesto, por tanteo, resulta casi siempre farragoso y en la mayoría de las ocasiones largo o imposible, por lo que se imponen otros numerosos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre los que destacaremos:

Método de reducción; es el más utilizado en problemas sencillos.

Método de sustitución; es importante pues, a pesar de ser menos utilizado que el anterior, se usa en numerosos mecanismos algebraicos.

Método de igualación; No muy utilizado, sólo en casos muy concretos.

Método gráfico; tiene el problema de que en muchas ocasiones es difícil obtener el valor exacto de las incógnitas; es más largo y laborioso que los anteriores pero tiene la ventaja del "poder de la imagen" para la comprensión de conceptos.

- Método con CALCULADORA GRÁFICA; es el más rápido y eficaz; en determinadas Comunidades Autónomas españolas, al contrario que el resto de Europa, tropieza con la prohibición de su uso.

- Método con CALCULADORA CIENTÍFICA; tiene las ventajas expuestas anteriormente y de que muchos de los docentes que la prohíben desconocen que determinadas calculadoras científicas son capaces de resolver sistemas.

Método de Gauss; es el utilizado de forma generalizada en sistemas de ecuaciones con 3 o más incógnitas.

Método de Cramer; utilizado cuando se conoce el tema de DETERMINANTES.