PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

Completa las siguientes tablas y señala la constante de proporcionalidad, en el caso de que la haya:

TABLA I

TABLA II

Contesta si los siguientes pares de magnitudes están relacionados, y en caso afirmativo si es directa fuerte o débil o inversa fuerte o débil

1.- La altura de los árboles y la altura de las sombras, en un momento del día.

2.- La edad de una persona y el número de hermanos que tiene.

3.- El número de obreros que se encuentran realizando un trabajo y el tiempo que tardan.

4.- El área de un círculo y su radio.

5.- La edad de una persona y su número de arrugas.

6- La edad de una persona y el número de hijos.

7.- Las horas que se encuentra funcionando una máquina y el número de piezas que fabrica

8.- El número de soldados que hay en un castillo y el tiempo que duran los víveres.

9.- El número de días trabajados por un obrero y el dinero que gana.

10.- La velocidad de un móvil y el precio que tiene dicho móvil.

REGLA DE TRES SIMPLE

(A) DIRECTA: Intervienen sólo 2 magnitudes, relacionadas entre sí de forma directamente proporcional.

(B) INVERSA: Intervienen sólo 2 magnitudes, relacionadas entre sí de forma inversamente proporcional.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN

¿Cuál será la altura de un edificio cuya sombra mide 32.5 metros, sabiendo que, en el mismo sitio y hora, un bastón de 98 cm de altura proyecta una sombra de 14 cm de longitud?

(a) Escribimos en horizontal los datos con las magnitudes, ligeramente separados entre sí, anotando debajo de cada magnitud los datos que se correspondan y que nos proporcione el problema, situando una "x" debajo de aquella magnitud a la que le falte algún dato.

DATOS:

(b) Comprobar si las magnitudes situadas en la vertical vienen expresadas en las mismas unidades.

Transformamos los metros en centímetros para que haya uniformidad en las unidades, cosas habituales en estos niveles del curriculum:

32.5 m = 3250 cm

(c) Comprobamos si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales:

PLANTEAMIENTO:

Magnitudes DIRECTAMENTE proporcionales

(d) Formamos la razón donde se encuentra la incógnita, tal y como está.

(98/x) =

(e) Se construye la proporción igualando ambas razones, de la siguiente forma:

Si las magnitudes son directamente proporcionales, se deja la nueva razón tal y como está; si las magnitudes son inversamente proporcionales, se le da la vuelta a la nueva razón:

98/x  =  14/3250

RESOLUCIÓN:

x = (98·3250

SOLUCIÓN:

x = 22750 cm

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS:

227.5 m es la altura que tiene el edificio

REGLA DE TRES COMPUESTA

Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, ¿cuántos obreros, trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15 km?

DATOS:

PLANTEAMIENTO:

RESOLUCIÓN:

x =

SOLUCIÓN:

x = 75

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS:

Con estas nuevas condiciones se necesitarían 75 obreros

Seis piezas de tela, de 60 m de largo y 0.90 m de ancho, han costado 1.8 €. ¿Cuál será el valor de 8 piezas de la misma tela cuyo largo es 90 m, siendo 1.25 m su anchura?

DATOS:

PLANTEAMIENTO:

1.8/x = (0.9 · 60 · 6)/(1.25·90·8)

RESOLUCIÓN:

x =  (1.8 · 1.25 · 90 · 8)/(0.9 · 60 · 6) = 5

Nota: este resultado se suele efectuar mal con la calculadora; los alumnos suelen hacer:

1.8 · 1.25 · 90 · 8 : 0.90 · 60 · 6

Al hacer esto en realidad lo que están haciendo es:   x =  1.8 · 1.25 · 90 · (8 / 0.9) · 60 · 6

Con calculadora hay un “viejo truco”  para no equivocarse: colocar entre paréntesis tanto el numerador como el denominador:

x =  (1.8 · 1.25 · 90 · 8)/(0.9 · 60 · 6)

SOLUCIÓN:

x = 5

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS:

Esa pieza de tela costará 5 €

REPARTOS PROPORCIONALES

Cuando queremos repartir una cantidad entre varias personas, ¿siempre dividimos el total por el número de personas que forman parte del reparto?

(A) Repartos equitativos

Si tenemos que repartir 10200 euros entre 3 obreros que han realizado una obra, ¿cómo procederías?

10200/3  = 3400 euros

Daría 3400 euros a cada uno

(B) Pero si uno de ellos trabajó 15 días, otro 3 días y otro 1 día, ¿seguirías haciendo el reparto de igual forma? ¿Sería justo?

(C) Y si trabajasen los mismos días, pero uno hace un descanso de 8 horas diarias, otro de 2 horas y otro de 1 hora, ¿seguirías haciendo el reparto de igual forma?. ¿Sería justo?

Estos son casos claros en el que tenemos que aplicar la idea de repartos proporcionales:

(B) Repartos directamente proporcionales: "a más días de trabajo, más dinero"

(C) Repartos inversamente proporcionales: "a más horas de descanso, menos dinero"

Veamos a continuación diversos problemas y observemos la metodología de resolución en cada uno de los casos.

REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Un décimo de lotería cuesta 18 €. Tres personas compran una participación: Marta pone 10 €, María 5 € y Cristina 3 €. Si les tocan 23000 €, ¿cuánto crees que recibirá cada una?

RESOLUCIÓN:

Vamos a establecer las siguientes proporciones:

x/10 = y/5 = z/3 = (x+y+z)/(10+5+3) =

x, y, z  son las cantidades que han de percibir Marta, María y Cristina, respectivamente.

Al ser repartos directamente proporcionales (cuanto más hayan puesto, más recibirán), haremos los cálculos de la siguiente forma:

+  x/10 =

x = (10·23000)/18 = 12 777.78 €

+   y/5 =

y = (5·23000)/18 = 6388.89 €

+  z/3 =

z = (3·23000)/18 = 3 833.33 €

Marta, María y Cristina recibirán, respectivamente, 12777.78, 6388.89 y 3833.33 €

 REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Se trata de repartir 1000 € entre 3 personas de forma inversamente proporcional a los días que han asistido a un curso. Sabiendo que el primero ha asistido 4 días, el segundo 8 y el tercero 2, ¿cuánto crees que recibirá cada uno?

RESOLUCIÓN:

Vamos a establecer las siguientes proporciones:

x/(1/4) = y/(1/8) = z/(1/2) = (x+y+z)/(1/4+1/8+1/8) = 1000/(7/8)

x, y, z  son las cantidades que han de percibir cada uno.

Transformamos las proporciones anteriores en otras más sencillas:

4x/1 = 8y/1 = 2z/1 = (x+y+z)/(1/4+1/8+1/8) = 8000/7

A continuación haremos los cálculos de la siguiente forma

+  4x = 8000/7

x = 8000/(7·4) = 285.71 €

+  8y = 8000/7

y = 8000/(7·8) = 142.86 €

+  2z = 8000/7

z =8000/(7·2) = 571.43 €

La primera, 2ª y 3ª personas recibirán, respectivamente, 285.71 €, 142.86 € y 571.43 €